Question

19．在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．
（1）如图①，则△AA′C的形状是直角三角形；
（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；
（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和旋转的性质求得OA=OB=OC=OD=OA′，然后根据等腰三角形的性质得出∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，进而得出∠CA′A=90°；
（2）根据勾股定理求得AC，然后求得△AA′O是等边三角形，解直角三角形A′AC即可求得A′C长度；
（3）根据旋转的性质和矩形的性质求得∠OAA′=∠OCD，AA′=CD，证得四边形A′ACD是等腰梯形，从而证得A′D∥AC．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∵OA=OA′，
∴OA′=OC，
∴∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，
∴∠OA′C+∠OA′A=∠OCA′+∠OAA′，
∴∠CA′A=90°，
∴△AA′C是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）∵AB=1，BC=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OA=OA′=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠α=60°，
∴△AA′O是等边三角形，
∴∠OAA′=60°，
∴A′C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$；
（3）∵∠α=∠AOB，OA=OB=OA′，
∴AA′=AB，∠OAA′=∠OBA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBA=∠OCD，AB=CD，
∴∠OAA′=∠OCD，AA′=CD，
∴四边形A′ACD是等腰梯形，
∴A′D∥AC．

点评 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练运用旋转的性质是解题的关键．