Question

【题目】如图，RtΔABC中∠C＝90°，∠ABC＝30°，ΔABC绕点C顺时针旋转得ΔA1B1C，当A1落在AB上时，连接B1B，取B1B的中点D，连接A1D，则的值为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据旋转的性质得到△ACA1和△BCB1是等边三角形，再根据等边三角形的内角度数及直角三角形的内角度数推出△A1BD为直角三角形，设AC=x，根据勾股定理得出A1B=x，BB1=x，因为点D是BB1的中点，得出BD =x，根据勾股定理得出A1D==，从而可得出的值．

解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°

∴∠A=90°-∠ABC=90°-30°=60°

∵△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C

∴CA=CA1，CB=CB1

∴△ACA1是等边三角形

∴∠ACA1=60°

∴∠A1CB=∠ACB-∠ACA1=90°-60°=30°

∵∠A1CB1=90°

∴∠BCB1=∠A1CB1-∠A1CB=90°-30°=60°

∵CB=CB1

∴△BCB1是等边三角形

∴∠B1BC=60°

∴∠A1BB1=∠ABC+∠B1BC=30°+60°=90°

设AC=x，

则在Rt△ABC中，A1C=AA1=AC=x，AB=2x，BC=x

∴A1B=x，BB1=x

∵点D是BB1的中点

∴BD=BB1=x

在Rt△A1BD中，

A1D==

∴

故答案为．