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【题目】如图,抛物线yax2+bx+4a0)与x轴交于A(﹣30),C 40)两点,与y轴交于点B

1)求这条抛物线的顶点坐标;

2)已知ADAB(点D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过ts)的移动,线段PQBD垂直平分,求t的值;

3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)这条抛物线的顶点坐标是();(2t;(3)存在,M).

【解析】

1)根据抛物线图像上的三点坐标,利用待定系数法即可解答;

2)根据AB的坐标,易求得AD=AB=5,则CD=AC-AD=2,连接DQ,由于BD垂直平分PQ,那么DP=DQ,根据等腰三角形三线合一的性质知:∠PDB=QDB=ABD,即AB//DQ,此时△CDQ∽△CAB,利用相似三角形得到的比例线段即可求得D QPD的长,从而求得AP的值,即可求得t的值;

3)如图2,先作C关于对称轴的对称点,即点A;连接AQ与对称轴的交点就是所求的M,先求2的坐标,求直线42的解析式,因为对称轴是:x=,即M的横坐标就是,代入AQ的解析式求出y的值.

解:(1)∵抛物线yax2+bx+4a0)与x轴交于A(﹣30),C 40)两点,

解这个方程,得

∴该抛物线解析式是y=﹣x2+x+4

y=﹣x2+x+4y=﹣x2+

∴这条抛物线的顶点坐标是();

2)∵A(﹣30),C 40),

OA3OBOC4

AB5AC7CD2

如图1,连接DQ,由于BD垂直平分PQ,则DPDQ,得:

PDB=∠QDB

ADAB,得:∠ABD=∠ADB

故∠QDB=∠ABD

QDAB

∴△CDQ∽△CAB,则有:

PDDQAPADPD5

t

3)存在,

如图2,连接AQ交对称轴于M,此时MQ+MC为最小,

QQNx轴于N

DQAB

∴∠QDN=∠BAC

sinQDNsinBAC

QN

设直线BC的解析式为:ykx+b

B04)和C40)代入得:

解得

∴直线BC的解析式为:y=﹣x+4

y时,=﹣x+4

x

Q),

同理可得:AQ的解析式为:yx+

x时,y×

M).

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