【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),C (4,0)两点,与y轴交于点B.
(1)求这条抛物线的顶点坐标;
(2)已知AD=AB(点D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t(s)的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)这条抛物线的顶点坐标是(,);(2)t=;(3)存在,M(,).
【解析】
(1)根据抛物线图像上的三点坐标,利用待定系数法即可解答;
(2)根据A、B的坐标,易求得AD=AB=5,则CD=AC-AD=2,连接DQ,由于BD垂直平分PQ,那么DP=DQ,根据等腰三角形三线合一的性质知:∠PDB=∠QDB=∠ABD,即AB//DQ,此时△CDQ∽△CAB,利用相似三角形得到的比例线段即可求得D Q、PD的长,从而求得AP的值,即可求得t的值;
(3)如图2,先作C关于对称轴的对称点,即点A;连接AQ与对称轴的交点就是所求的M,先求2的坐标,求直线42的解析式,因为对称轴是:x=,即M的横坐标就是,代入AQ的解析式求出y的值.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),C (4,0)两点,
∴.
解这个方程,得
∴该抛物线解析式是y=﹣x2+x+4.
∵y=﹣x2+x+4=y=﹣(x﹣)2+.
∴这条抛物线的顶点坐标是(,);
(2)∵A(﹣3,0),C (4,0),
∴OA=3,OB=OC=4,
则AB=5,AC=7,CD=2;
如图1,连接DQ,由于BD垂直平分PQ,则DP=DQ,得:
∠PDB=∠QDB,
而AD=AB,得:∠ABD=∠ADB,
故∠QDB=∠ABD,
得QD∥AB;
∴△CDQ∽△CAB,则有:==,
∴=.
∴PD=DQ=,AP=AD﹣PD=5﹣=,
故t=;
(3)存在,
如图2,连接AQ交对称轴于M,此时MQ+MC为最小,
过Q作QN⊥x轴于N,
∵DQ∥AB,
∴∠QDN=∠BAC,
sin∠QDN=sin∠BAC==,
∴=,
∴QN=,
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
把B(0,4)和C(4,0)代入得:,
解得,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+4,
当y=时,=﹣x+4,
x=,
∴Q(,),
同理可得:AQ的解析式为:y=x+,
当x=时,y=×=,
∴M(,).
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【题目】如图,在直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,P为AC的中点,Q为AB上的一个动点,连接PQ,CQ,则PQ+CQ的最小值为( )
A.2B.3C.D.
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【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,E是AB的中点,过点E作AC和BC的垂线,垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与点A重合时停止运动,设运动时间为t,运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是弧BE中点,AE⊥CD于点D,延长DC,AB交于点F,已知AD=4,FC=FB.
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)求线段FC的长.
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【题目】如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均在格点上.
(1)边AC的长等于_____.
(2)以点C为旋转中心,把△ABC顺时针旋转,得到△A'B'C',使点B的对应点B'恰好落在边AC上,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,作出旋转后的图形,并简要说明作图的方法(不要求证明).
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【题目】在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物.为使课外读物满足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类),如图是根
据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了 名同学;
(2)条形统计图中,m= ,n= ;
(3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 度;
(4)学校计划购买课外读物6000册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比较合理?
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【题目】某超市计划购进甲、乙两种商品,两种商品的进价、售价如下表:
商品 | 甲 | 乙 |
进价(元/件) | ||
售价(元/件) | 200 | 100 |
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元?
(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件,其中销售甲种商品为件(),设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为元,求与之间的函数关系式,并求出的最小值.
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【题目】如图,直线y1=3x﹣5与反比例函数y2=的图象相交A(2,m),B(n,﹣6)两点,连接OA,OB.
(1)求k和n的值;
(2)求△AOB的面积;
(3)直接写出y1> y2时自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,点A的坐标为(0,),分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于E,F两点,直线EF恰好经过点D,交AB于点H,则四边形HBCD的周长为( )
A.B.6C.D.
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