Question

【题目】在中，，，是的角平分线，于点．

（1）如图，连接，求证：是等边三角形；

（2）点是线段上的一点（不与点重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点，请你在图中画出完整图形，并直接写出与之间的数量关系；

（3）如图，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点，试探究与数量之间的关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=DG+DM；（3）AD=DGDN；理由见解析．

【解析】

（1）如解题所示，根据直角三角形的性质可得∠ABC=60°,BC=，然后根据等角对等边可得DA=DB，再根据三线合一可得AE=BE=，从而证出结论；

（2）根据题意，画出图形，延长ED至W，使得DW=DM，连接WM，先证出△WDM是等边三角形，然后利用ASA证出△WMG≌△DMB，从而得出WG=DB,然后利用等量代换即可得出结论；

（3）延长BD至H，使得DH=DN，连接HN，先证出△NDH是等边三角形，然后利用ASA证出△DNG≌△HNB，从而得出DG=HB,然后利用等量代换即可得出结论；

（1）证明：如图1所示：

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°，

∴∠ABC=60°,BC=

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠DBA=∠A=30°．

∴DA=DB．

∵DE⊥AB于点E．

∴AE=BE=

∴BC=BE．

∴△EBC是等边三角形；

（2）作图如下，结论：AD=DG+DM．理由如下

延长ED至W，使得DW=DM，连接WM．

由(1)得DA=DB,∠A=30°．

∵DE⊥AB于点E．

∴∠2=∠3=60°．

∴∠4=∠2=60°，∠5=180°－∠2－∠3=60°

∴△WDM是等边三角形．

∴WD=DM=WM,∠W=∠WMD=60°

∴∠W =∠5．

∴∠WMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG

即∠WMG=∠DMB．

在△WMG和△DMB中

∴△WMG≌△DMB (ASA)．

∴WG=DB．

∵WG= DG + WD = DG + DM，

∴DB= DG + DM．

∴AD= DG + DM．

（3）结论：AD=DGDN．

证明：延长BD至H，使得DH=DN，连接HN．

由(1)得DA=DB,∠A=30°．

∵DE⊥AB于点E．

∴∠2=∠3=60°．

∴∠4=∠5=60°

∴△NDH是等边三角形．

∴NH=ND,∠H=∠6=60°

∴∠H=∠2．

∵∠BNG=60°

∴∠BNG+∠7=∠6+∠7

即∠DNG=∠HNB．

在△DNG和△HNB中

∴△DNG≌△HNB(ASA)．

∴DG=HB．

∵HB=HD+DB=ND+AD，

∴DG=ND+AD．

∴AD=DGND．