Question

已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，sinα=

2

3

，AC=4

5

，求S_△ABC．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：作DE⊥BC于E，如图，则DE∥AC，根据平行线的性质得∠CDE=∠ACD=α，由于D是AB的中点，则DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得到DE=

1

2

AC=2

5

，CE=BE，在Rt△CDE中，利用正弦的定义得到sin∠CDE=

2

3

=

CE

CD

，则可设CE=2a，CD=3a，利用勾股定理得DE=

5

a，则

5

a=2

5

，解得a=2，可计算出BC=2CE=8，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：作DE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠CDE=∠ACD=α，
∵D是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

AC=2

5

，CE=BE，
在Rt△CDE中，sin∠CDE=sinα=

2

3

=

CE

CD

，
设CE=2a，CD=3a，
∴DE=

CD2-CE2

=

5

a，
∴

5

a=2

5

，解得a=2，
∴CE=4，
∴BC=2CE=8，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×4

5

×8=16

5

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．