【题目】如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D,连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AB=5,BC=10,求⊙O的半径及PC的长.
【答案】(1)PC与⊙O相切;(2)r=3;PC=.
【解析】
(1)过C点作直径CE,连接EB,由CE为直径得∠E+∠BCE=90°,由AB∥DC得∠ACD=∠BAC,而∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD,所以∠E=∠BCP,于是∠BCP+∠BCE=90°,然后根据切线的判断得到结论;
(2)根据切线的性质得到OA⊥AD,而BC∥AD,则AM⊥BC,根据垂径定理有BM=CM=BC=5,根据等腰三角形性质有AC=AB=5,在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM的长度,设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM-r=5-r,在Rt△OCM中,根据勾股定理计算出r=3,由CE=2r,利用中位线性质得BE的长度,然后判断Rt△PCM∽Rt△CEB,根据相似比可计算出PC.
解:(1)PC与⊙O相切,理由为:
过C点作直径CE,连接EB,如图,
∵CE为直径,
∴∠EBC=90°,即∠E+∠BCE=90°,
∵AB∥DC,
∴∠ACD=∠BAC,
∵∠BAC=∠E,∠BCP=∠ACD.
∴∠E=∠BCP,
∴∠BCP+∠BCE=90°,即∠PCE=90°,
∴CE⊥PC,
∴PC与⊙O相切;
(2)∵AD是⊙O的切线,切点为A,
∴OA⊥AD,
∵BC∥AD,
∴AM⊥BC,
∴BM=CM=BC=5,
∴AC=AB=5,
在Rt△AMC中,AM==5,设⊙O的半径为r,则OC=r,OM=AM﹣r=5﹣r,
在Rt△OCM中,OM2+CM2=OC2,即(5﹣r)2+52=r2,
解得:r=3;
∴CE=2r=6,OM=5﹣r=2,
∴BE=2OM=4,
∵∠E=∠MCP,
∴Rt△PCM∽Rt△CEB,
∴=,
即=,
∴PC=.
故答案为:(1)PC与⊙O相切;(2)r=3;PC=.
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【题目】如图,△ABC的顶点坐标分别为A(1,3),B(4,2),C(2,1).
(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)以原点O为位似中心,在原点的另一个侧画出△A2B2C2.使=,并写出A2、B2、C2的坐标.
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【题目】某地发生8.1级地震,震源深度20千米.救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A、B,AB相距2米,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73)
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【题目】如图,在中,和的平分线相交于点,过点作交于点,交于点,过点作于点,某班学生在一次数学活动课中,探索出如下结论,其中错误的是( )
A.B.点到各边的距离相等
C.D.设,,则
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【题目】如图,四条直线l1:y1=x,l2:y2=x,l3:y3=﹣x,l4:y4=﹣x,OA1=1,过点A1作A1A2⊥x轴,交l1于点A2,再过点A2作A2A3⊥l1交l2于点A3,再过点A3作A3A4⊥l2交y轴于点A4…,则点A2017坐标为________.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P在斜边AB上 (不与A、B重合),过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF.随着P点在边AB上位置的改变,EF的长度是否也会改变?若不变,请你求EF的长度;若有变化,请你求EF的变化范围.
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【题目】某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动:在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球,球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,每消费满200元,就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回),商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消费,某顾客刚好消费200元.
(1)该顾客至少可得到 元购物券,至多可得到 元购物券;
(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率.
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【题目】如图,直线y=x+2与坐标轴相交于A,B两点,与反比例函数y=在第一象限交点C(1,a).求:
(1)反比例函数的解析式;
(2)△AOC的面积;
(3)不等式x+2﹣<0的解集(直接写出答案)
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