【题目】如图,已知AC是矩形ABCD的对角线,AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E和F,EF交AC于点O.
(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=6,AD=8,求四边形AECF的周长.
【答案】(1)见解析;(2)25
【解析】
(1)根据四边相等的四边形是菱形即可判断;
(2)设AE=EC为x,利用勾股定理解答即可.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵EF垂直平分AC,
∴AF=FC,AE=EC,
∴∠FAC=∠FCA,
∴∠FCA=∠ACB,
∵∠FCA+∠CFE=90°,∠ACB+∠CEF=90°,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CE=CF,
∴AF=FC=CE=AE,
∴四边形AECF是菱形.
(2)设AE=EC为x,则BE=(8-x)
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,
即x2=62+(8-x)2,
解得:x=,
所以四边形AECF的周长=×4=25.
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【题目】某中学计划购买型和型课桌凳共套,经招标,购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用元,且购买套型和套型课桌凳共需元.
(1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元?
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过元,并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的,求该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案?怎样的方案使总费用最低?并求出最低消费.
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【题目】作图题
(1)如图①,点C是∠AOB边OB上的一点,在图中作出点C到OA的垂线段CD,垂足为D.再过C点作OA的平行线CE.
(2)如图②,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,△ABC的顶点都在正方形顶点上,将△ABC先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到△A′B′C′,请你画出平移后的△A′B′C′.
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【题目】海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A测得小岛P在北偏东60°方向上,航行12海里到达B点,这时测得小岛P在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由.
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【题目】初二年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查,其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初二学生的参与情况,绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图(均不完整),请根据图中所给信息解答下列问题:
(1)在这次评价中,一共抽查了 名学生;
(2)在扇形统计图中,项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为 度;
(3)请将频数分布直方图补充完整;
(4)如果全市有6000名初二学生,那么在试卷评讲课中,“独立思考”的初二学生约有多少人?
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【题目】某中学为打造书香校园,计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书,调查发现,若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个,共需资金1020元;若购买甲种书柜4个,乙种书柜3个,共需资金1440元.
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元?
(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个,其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量,学校至多能够提供资金4320元,请设计几种购买方案供这个学校选择.
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【题目】近年来,我国很多地区持续出现雾霾天气.某社区为了调查本社区居民对雾霾天气主要成因的认识情况,随机对该社区部分居民进行了问卷调查,要求居民从五个主要成因中只选择其中的一项,被调查居民都按要求填写了问卷.社区对调查结果进行了整理,绘制了如下不完整的统计图表.被调查居民选择各选项人数统计表
雾霾天气的主要成因 | 频数(人数) |
A大气气压低,空气不流动 | m |
B地面灰尘大,空气湿度低 | 40 |
C汽车尾气排放 | n |
D工厂造成的污染 | 120 |
E其他 | 60 |
请根据图表中提供的信息解答下列问题:
(1)填空:m=________,n=________,扇形统计图中C选项所占的百分比为________.
(2)若该社区居民约有6 000人,请估计其中会选择D选项的居民人数.
(3)对于“雾霾”这个环境问题,请你用简短的语言发出倡议.
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【题目】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现:如图2,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,
①△ADC是 三角形;
②设△BDC的面积为,△AEC的面积为,则与的数量关系是 .
(2)猜想论证:当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中与的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究:如图4,已知∠ABC=60°,点D是角平分线上一点,且BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E.若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
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