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【题目】如图,在矩形ABCD 中,AB=4AD=a,点PAD上,且AP=2,点E是边AB上的动点,以PE为边作直角∠EPF,射线PFBC于点F,连接EF,给出下列结论:①tanPFE=;②a的最小值为10.则下列说法正确的是( )

A.①②都对B.①②都错C.①对②错D.①错②对

【答案】C

【解析】

,利用矩形ABCD四个直角,再加上∠EPF为直角,联想到构造三垂直模型,故过FAD垂线,垂足为G,即有△AEP∽△GPF,且相似比为12,即求得tanPFE

②显然,若a要取最小值,则FC要重合(GD重合),又AEPG为对应边,AE越小则PGPD)越小,当AE=0时,PD=0最小,此时a=2

解:过点FFGAD于点G

∴∠FGP=90°

∵矩形ABCD中,AB=4,∠A=B=90°

∴四边形ABFG是矩形,∠AEP+APE=90°

FG=AB=4

∵∠EPF=90°

∴∠APE+FPG=90°

∴∠AEP=FPG

∴△AEP∽△GPF

,故①正确;

如图2,当AE重合,CF重合,DP重合时,AD最短,此时a=2,故②错误.

故选择:C.

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