Question

如图，在△ABC中，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至点E，恰使CE=CD，BD=DE，求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定

专题：证明题

分析：因为在△ABC中，BA=BC，所以欲证△ABC是等边三角形，只需证明∠BCD=60°．

解答：证明：∵在△ABC中，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵CE=CD，BD=DE，
∴∠E=∠CDE，∠E=∠DBE，
∵∠DCB是△DCE的外角，
∴∠DCB=∠E+∠CDE，
设：∠E=x°，则∠DBE=∠E=∠CDE=x°，
∴∠DCB=∠E+∠CDE=2x°，
在△BCD中，
∵∠BDC+∠DCB+∠DBC=180°，
即：90°+2x°+x°=180°，
∴x=30°，
∴∠DCB=2x°=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．