Question

【题目】如图1，已知点，，且、满足，的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．

（1）求的值；

（2）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点、的坐标；

（3）以线段为对角线作正方形（如图，点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；，；，；（3）的值不发生改变.

【解析】

（1）先根据非负数的性质求出、的值，故可得出、两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可；

（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标；

（3）连、、，易证，故，，由此即可得出结论．

（1），

，

解得：，

，，

为中点，

，

设，

又，

，

，

，

；

（2）由（1）知，

反比例函数的解析式为，

点在双曲线上，点在轴上，

设，，

①当为边时：

如图1，若为平行四边形，

则，

解得，

此时，；

如图2，若为平行四边形，

则，

解得，

此时，；

②如图3，当为对角线时，

，且；

，

解得，

，；

故，；，；，；

（3）的值不发生改变，

理由：如图4，连、、，

是线段的垂直平分线，

，

四边形是正方形，

，

在与中，，

，

，

，

四边形中，，而，

所以，，所以，四边形内角和为，

所以．

，

．