Question

13．已知点A（8，0），B（0，-4），点P为一次函数y=$\frac{1}{3}$x图象上的一个动点，设点P横坐标为m，若△APB为钝角三角形，则m的取值范围是m＜-$\frac{12}{7}$或0＜m＜6或m＞$\frac{48}{7}$．

Answer 1

分析 找几个关键点①P₁B⊥AB时，②P₂A⊥BA时③当∠AP₃B=90°，只要求出P₁、P₂、P₃的坐标即可写出m的范围．

解答 解：如图所示，直线AB为y=$\frac{1}{2}$x-4，线段AB中点C坐标（4，-2）
①P₁B⊥AB时，△P₁AB是直角三角形，
此时直线BP₁为y=-2x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=-2x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{7}}\\{y=-\frac{4}{7}}\end{array}\right.$，所以点P₁（-$\frac{12}{7}$，-$\frac{4}{7}$），
②P₂A⊥BA时，△P₂AB是直角三角形，此时直线P₂A为y=-2x+16，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=-2x+16}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{7}}\\{y=\frac{16}{7}}\end{array}\right.$，所以点P₂（$\frac{48}{7}$，$\frac{16}{7}$），
③当∠AP₃B=90°时，设P₃（m，$\frac{1}{3}$m），
由P₃C=$\frac{1}{2}$AB得（m-4）²+（$\frac{1}{3}$m+2）²=20，解得m=0或6，
∴P₃（0，0）或（6，2），
综上所述△APB为钝角三角形时m＜-$\frac{12}{7}$或0＜m＜6或m＞$\frac{48}{7}$．
故答案为m＜-$\frac{12}{7}$或0＜m＜6或m＞$\frac{48}{7}$．

点评 本题考查一次函数的图象与性质、直角三角形的性质等知识，找关键点是解决问题的关键，属于中考常考题型．