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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CDABBEAC,垂足分别为DEFBC中点,BEDFDC分别交于点GH,∠ABE=∠CBE

(1)求证:BHAC

(2)求证:BG2GE2EA2

【答案】1)(2)证明详见解析.

【解析】

试题(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根据ASA证出△DBH≌△DCA即可.2)根据DB=DCFBC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出答案.

试题解析:(1∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°∠ABC=45°

∴∠BCD=45°=∠ABC∠A+∠DCA=90°∠A+∠ABE=90°.

∴DB=DC∠ABE=∠DCA.

△DBH△DCA中,∵∠DBH=∠DCABD=CD∠BDH=∠CDA

∴△DBH≌△DCAASA.∴BH=AC.

2)连接CG

∵FBC的中点,DB=DC∴DF垂直平分BC. ∴BG=CG.

∵∠ABE=∠CBEBE⊥AC∴∠AEB=∠CEB.

△ABE△CBE中,∵∠AEB=∠CEBBE=BE∠CBE=∠ABE

∴△ABE≌△CBEASA.∴EC=EA.

Rt△CGE中,由勾股定理得:CG2﹣GE2=EC2.

∴BG2﹣GE2=EA2.

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