Question

9．如图，正方形ABCD的边长为3，AE=2BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 连接BD，交AC于O，根据正方形性质求出B、D关于AC对称，连接DE，交AC于P，连接BP，得出此时PE+PB的值最小，得出PE+PB=PE+PD=DE，由已知求出AE=2，根据勾股定理求出DE即可．

解答 解：连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OB，BD⊥AC，
即B、D关于AC对称，
连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PE+PB的值最小，即根据对称的性质得出PE+PB=PE+PD=DE，
∵AE=2BE，AB=3，
∴AE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AD=3，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即PE+PB的最小值是$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是找出P点的位置，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．