Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．

（1）求DE是⊙O的切线；

（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；

（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）连接OD，由圆周角定理就可得∠ADB=90°和∠CDB=90°，又由E为BC的中点可以得出DE=BE，进一步得到∠EDO＝∠EBO，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°即可证明；

（2）由S2=5S1，即△ADB的面积是△CDE面积的4倍，可得AD:CD=2:1，AD:BD=2，则可求tan∠BAC；

（3）由（2）的关系即可知AD:BD=2，在Rt△AEB中，运用勾股定理解答即可．

（1）证明：连接OD，

∴OD＝OB

∴∠ODB＝∠OBD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°．

∵E为BC的中点，

∴DE＝BE，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，

即∠EDO＝∠EBO．

∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，

∴AB⊥BC，

∴∠EBO＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵S2＝5S1，

∴S△ADB＝2S△CDB，

∴＝，

∵△BDC∽△ADB，

∴＝，

∴DB2＝ADDC，

∴ ，

∴tan∠BAC＝；

（3）解：∵tan∠BAC＝，

∴，得BC＝AB＝2 ，

∵E为BC的中点，

∴BE＝BC＝，

∴AE＝．