【题目】已知二次函数与一次函数,
(1)求证:对任意的实数,函数与的图象总有两个交点;
(2)设与的图象相交于两点,的图象与轴相交于点,记与的面积分别为(为坐标原点),求证:总是定值;
(3)对于二次函数,是否存在实数,使得当时,恰好有,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)把两函数联立得到一元二次方程,根据根的判别式△>0即可求解;
(2)设,根据一元二次方程根与系数的关系得到,再根据二次函数的解析式求出C点坐标,得到,再代入即可求解;
(3)先把二次函数化为顶点式,当时,有最大值,根据当时,恰好有,故,而函数的对称轴为,得到函数值会随着增大而增大,把(a,a)和(b,b)代入二次函数,再根据根与系数的关系得到,故可求出的值.
解:(1)联立与的方程
消去得
对任意的实数,函数与的图象总有两个交点.
(2)设,则是方程的两根,
由根与系数的关系知:,因为二次函数与轴相交于点
所以
故总是定值;
(3),当时,有最大值,
所以,而函数的对称轴为,
所以当时,
函数值会随着增大而增大,
把(a,a)和(b,b)代入二次函数得,
则
所以是方程的两根且这两根均小于4,
所以
∴.
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【题目】某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对创建文明城市的关注程度,随机选取了名年龄在该范围内的市民进行了调查,并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图,如下所示:
组别 | 年龄段 | 频数(人数) |
第组 | ||
第组 | ||
第组 | ||
第组 | ||
第组 |
(1)请直接写出 ,第组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度;
(2)请补全上面的频数分布直方图:
(3)假设该市现有岁的市民万人,问岁年龄段的关注创建文明城市的人数约有多少?
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm(0.0000025m)的颗粒物,含有大量有毒、有害物质,也称可入肺颗粒物.将0.0000025用科学记数法表示为
A.25×10﹣7B.2.5×10﹣6C.0.25×10﹣5D.2.5×106
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【题目】如图,已知抛物线与轴交于,点,与轴交于点,抛物线的顶点为,连接.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)在抛物线上找一点,使得与垂直,且直线与轴交于点,求点的坐标;
(3)抛物线对称轴上是否存在一点,使得,若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图像经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当m≤x≤m1时,二次函数yx2bxc的最大值为2m,求m的值;
(3)如图2,点D为直线AC上方二次函数图像上一动点,连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求的最大值.
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【题目】某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球,学生可以根据自己的爱好选修其中1门.某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计,制成了两幅不完整的统计图(图(1)和图(2)):
(1)请你求出该班的总人数,并补全条形图(注:在所补小矩形上方标出人数);
(2)在该班团支部4人中,有1人选修排球,2人选修羽毛球,1人选修乒乓球.如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人,那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转120°,若P为AB上一动点,旋转后点P的对应点为点P',则线段PP'长度的最小值是( )
A.B.2C.3D.2
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【题目】如图,直线与轴,轴分别交于点、;点是以为圆心,1为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,当线段PQ取最小值时,P点的坐标是__________.
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