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【题目】已知二次函数与一次函数

1)求证:对任意的实数,函数的图象总有两个交点;

2)设的图象相交于两点,的图象与轴相交于点,记的面积分别为为坐标原点),求证:总是定值;

3)对于二次函数,是否存在实数,使得当时,恰好有,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3

【解析】

1)把两函数联立得到一元二次方程,根据根的判别式△>0即可求解;

2)设,根据一元二次方程根与系数的关系得到,再根据二次函数的解析式求出C点坐标,得到,再代入即可求解;

3)先把二次函数化为顶点式,当时,有最大值,根据当时,恰好有,故,而函数的对称轴为,得到函数值会随着增大而增大,把(a,a)和(b,b)代入二次函数,再根据根与系数的关系得到,故可求出的值.

解:(1)联立的方程

消去

对任意的实数,函数的图象总有两个交点.

2)设,则是方程的两根,

由根与系数的关系知:,因为二次函数轴相交于点

所以

总是定值

3,当时,有最大值

所以,而函数的对称轴为

所以当时,

函数值会随着增大而增大,

把(a,a)和(b,b)代入二次函数得

所以是方程的两根且这两根均小于4

所以

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年龄段

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