Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，二次函数y=x2+bx+c的图像经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当m≤x≤m1时，二次函数yx2bxc的最大值为2m，求m的值；

（3）如图2，点D为直线AC上方二次函数图像上一动点，连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）．

【解析】

（1）根据题意得到，代入，于是得到结论；

（2）先求抛物线的对称轴，然后分m+1≤，m＜＜m+1，m＞三种情况，利用二次函数的图象及性质可以分别求出m的值．

（3）如图，过作轴于，过作轴交于于，构造，利用相似三角形的性质得，由DM长得二次函数即可解答．

解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，

时，，时，，

，，

抛物线经过．两点，

，

，

抛物线的函数表达式为；

（2）在中，对称轴为x=，当m≤x≤m1时，二次函数yx2bxc的最大值为2m，有三种可能：
I．若m+1≤，即m≤时，当x=m+1时，函数有最大值-2m，
∴，
解得，，，（均不合题意，舍去）

II．若m＜＜m+1，即＜m＜时，当x=时，函数有最大值为，

即；解得：
III．若m＞，当x=m时，函数有最大值为-2m，
∴ ，
解得，，，

综上所述，m的值为或或．

（3）令，

，

，，

，

如图1，过作轴交于，过作轴交于，

，

，

，

设，，

，

，

；

当时，的最大值是；