【题目】如图,直线与轴,轴分别交于点、;点是以为圆心,1为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,当线段PQ取最小值时,P点的坐标是__________.
【答案】
【解析】
先判断当线段PQ取到最小值时的情形:过点C作CP⊥AB与点P,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,此时PQ取到最小值.根据互相垂直的两条直线的解析式中k互为负倒数,可设直线CP的解析式为:,把点C(0,-1)代入中,求出解析式,再联立直线CP和直线AB这两个函数解析式,求出点P的坐标即可.本题也可用相似三角形结合勾股定理来求点P的坐标.
解:如下图,过点C作CP⊥AB与点P,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,此时PQ取到最小值,连接CQ,
∵直线
当x=0时,y=3;当y=0时,x=4,
∴点B的坐标为(0,3),点A的坐标为(4,0),
∵直线CP⊥直线AB,
∴设直线CP的解析式为:,
把点C(0,-1)代入中,
解得:b=-1,
∴直线CP的解析式为:,
∵直线CP与直线AB交于点P,
∴,
解得:,
∴点P的坐标为.
故答案为:.
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【题目】如图,为的直径, 于点 ,是上一点,且,延长至点,连接,使,延长与交于点,连结,.
(1)连结,求证:;
(2)求证:是的切线;
(3)若,且,求的值.
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【题目】已知二次函数与一次函数,
(1)求证:对任意的实数,函数与的图象总有两个交点;
(2)设与的图象相交于两点,的图象与轴相交于点,记与的面积分别为(为坐标原点),求证:总是定值;
(3)对于二次函数,是否存在实数,使得当时,恰好有,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某观光湖风景区,一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头,巡逻艇匀速往返于甲、乙两个码头之间,当观光轮到达乙码头时,巡逻艇也同时到达乙码头.设出发x h后,观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1 km、y2 km.图中的线段OG、折线OABCDEFG分别表示y1、y2 与x之间的函数关系.
(1)观光轮的速度是 km/h,巡逻艇的速度是 km/h;
(2)求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离;
(3)求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2cm,AB=4cm.点P从点A出发,沿AB以1cm/s的速度向终点B运动.当点P与点A、B不重合时,过点P作PQ⊥AB交射线AC于点Q,以AP,AQ为邻边向上作平行四边形APMQ.设点P的运动时间为x(s),解答下列问题.
(1)∠A= °;
(2)当点M在BC上时,x的值为 ;
(3)设平行四边形APMQ与△ABC的重叠部分图形的面积为y(cm2),求y与x之间的函数关系式;
(4)整个运动过程中,直接写出△ABM为直角三角形时x的值.
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【题目】如图,AB是的直径,C是上一点,D是的中点,为延长线上一点,AE切于A,AC与BD交于点H,与OE交于点F,连结EC.
(1)求证:EC是的切线;
(2)若DH=9,,求的值.
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【题目】问题发现:(1)如图1,与同为等边三角形,连接则与的数量关系为________;直线与所夹的锐角为_________;
类比探究:(2)与同为等腰直角三角形,其他条件同(1),请问(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
拓展延伸:(3)中,为的中位线,将绕点逆时针自由旋转,已知,在自由旋转过程中,当在一条直线上时,请直接写出的值.
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【题目】如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
(1)求证:直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
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