Question

【题目】如图，AB是的直径，C是上一点，D是的中点，为延长线上一点，AE切于A，AC与BD交于点H，与OE交于点F，连结EC．

（1）求证：EC是的切线；

（2）若DH=9，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由垂径定理可得OE垂直平分AC，可证△AOE≌△COE，可得∠ECO=90，即可证明结论；

（2）连结AD，可得∠DAC=∠B，故，可得AO=10，RtDHF中，由于∠ODB=∠B，可得tan∠ODB=，即可求出DF=即可求出答案．

证明：（1）连结OC

∵D是的中点，OD是的半径

∴OE垂直平分AC

∴AE=EC， OA=OC，

∵OE=OE

∴△AOE≌△COE（SSS）

∴∠ECO=∠EAO

又AE是⊙O的切线

∴∠EAO=90

即∠ECO=90

∴EC是⊙O的切线

（2）连结AD，

∵OE垂直平分AC

∴AD=CD, ∠AFD=∠CFD=90°

∴∠DAC=∠DCA

∵∠DCA=∠B

∴∠DAC=∠B

∵OB=OD

∴∠DFH=∠B

∴

∴

∴

∴设FH=3x，则DF=4x

∵DH=9

∴

∴

∴

∴

∴ ，

∴ ，

∴AO=10

∵∠EAO=∠AFO=90°，∠AOF=∠AOE

∴△AFO∽△EAO

∴

∴

∴sin∠AEC=sin∠AEO=