【题目】如图,已知抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数解析式及顶点D的坐标;
(2)设点P是直线上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1),D(1,4);(2)P (1,2);(3)存在,M的坐标为(1,
)或(1,
)或(1,1)或(1,0)
【解析】(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.
(2)由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.
(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC;可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长,再按上面的三种情况列式求解.
解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),两点
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),
又∵抛物线过点C(0,3), ∴3=-3a,∴a=-1,
∴y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3,
(2)连接BC,则直线BC与直线的交点即为使△PAC的周长最小的点P.
设直线BC的解析式为y=kx+b, 将B(3,0),C(0,3)代入
得, ∴
,
∴直线BC的函数关系式y=-x+3,
∵对称轴为直线x=1,
∴当x=1时,y=2即点P的坐标为(1,2) .
(3)由于△MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情况讨论:
①MA=MC ②MA=AC ③AC=MC
∵抛物线的对称轴为x=1,∴设M(1,m)
∵A(-1,0),C(0,3) ∴MA2=m2+4 MC2=m2-6m+10 AC2=10
①若MA=MC 则MA2=MC2 ∴m2+4= m2-6m+10 ∴m=1,
②若MA=AC 则MA2=AC2 ∴m2+4=10,∴m=±
③若MC=AC 则MC2=AC2 ∴m2-6m+10=10,∴m=0或m=6,
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成在角形(舍去). 综上可知:存在符合条件的点M,且坐标为(1, )或(1,
)或(1,1)或(1,0) .
“点睛”熟知上述性质概念,本题综合性很强,运用的知识点很多,要认真审题才可解之,还需做辅助线求得,在二问中有两个答案易漏求,求得方法也不唯一,三问中可求有五个点,有一个不合题意需舍去,难度较大,属于难题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知a,b是有理数,若a在数轴上的对应点的位置如图所示,a+b<0,有以下结论: ①b<0;②b﹣a>0;③|﹣a|>﹣b;④ .
则所有正确的结论是( )
A.①,④
B.①,③
C.②,③
D.②,④
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【题目】运算与推理以下是甲、乙两人得到 +
>
的推理过程:(甲)因为
>
=3,
>
=2,所以
+
>3+2=5.又
=
<
=5,所以
+
>
.(乙)作一个直角三角形,两直角边长分别为
,
.利用勾股定理得斜边长的平方为
,所以
+
>
.对于两个人的推理,下列说法中正确的是( )
A.两人都正确
B.两人都错误
C.甲正确,乙错误
D.甲错误,乙正确
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【题目】如图,函数y=mx﹣4m(m是常数,且m≠0)的图象分别交x轴、y轴于点M,N,线段MN上两点A,B(点B在点A的右侧),作AA1⊥x轴,BB1⊥x轴,且垂足分别为A1 , B1 , 若OA1+OB1>4,则△OA1A的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系是( )
A.S1>S2
B.S1=S2
C.S1<S2
D.不确定的
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