Question

已知：如图，△ABC是⊙O内接三角形，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，

（1）求证：MN=BC；

（2）过点A作⊙O的直径AD，连接BD，AG为过点A的圆切线，过点M作MG⊥AG，垂足为G，若cos∠BAD=，BD=20，求AG的长．

　

Answer 1

【考点】切线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．

【分析】（1）由垂径定理和三角形的中位线的性质得到结论．

（2）由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，解直角三角形得到AD，AB的长度，再由锐角三角函数解出结果．

【解答】（1）证明：∵OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，

∴点M、N分别是AB、AC的中点，MN是三角形ABC的中位线，

∴MN=BC；

 

（2）解：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∵cos∠BAD=，BD=20，

∴在直角三角形ABD中，可设AD=5k，AB=4K，

根据勾股定理得：（5k）²﹣（4k）²20²，

∴k=（﹣舍去），

∴AD=，AB=，

∵AG是⊙O的切线，

∴OA⊥AG，

又∵MG⊥AG，

∴∠GAD=90°=∠MGA，

∴AD∥MG

∴∠AMG=∠BAD

∴sin∠AMG=sin∠BAD===，

∴AG=AM=×AB=8，

∴AG=8．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，切线的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，掌握垂径定理是解题的关键．