Question

【题目】如图，△ABC与△CDE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DEC=90°，连接AD，取AD中点P，连接BP，并延长到点M，使BP=PM，连接AM、EM、AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．

（1）如图①，当点D在BC上，E在AC上时，AE与AM的数量关系是______，∠MAE=______；

（2）将△CDE绕点C顺时针旋转到如图②所示的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）若CD=BC，将△CDE由图①位置绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），当ME=CD时，请直接写出α的值．

Answer 1

【答案】（1）AM=AE ， 45°；（2）成立，见解析；（3）α的值为60°或300°．

【解析】

（1）证明四边形ABDM是平行四边形即可解决问题．

（2）如图2中，连接BD，DM，BD交AC于点O，交AE于G．证明△BCD∽△ACE，推出∠CBD=∠CAE，=，即可解决问题．

（3）如图2中，首先证明△AEM是等腰直角三角形，分两种情形画出图形分别求解即可．

解：（1）结论：AM=AE，∠MAE=45°．

理由：如图1中，

∵AP=PD，BP=PM，

∴四边形ABDM是平行四边形，

∴AM∥BC，

∴∠MAE=∠C，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠C=45°，

∴∠MAE=45°，

∵∠AEM=∠DEC=90°，

∴∠AME=∠EAM=45°，

∴MA=AE．

故答案为：AM=AE，45°．

（2）如图2中，连接BD，DM，BD交AC于点O，交AE于G．

∵BC=AC，CD=CE，

∴=，

∵∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CBD=∠CAE，=，

∴BD=AE，

∵∠BOC=∠AOG，

∴∠AGO=∠BCO=45°，

∵AP=PD，BP=PM，

∴四边形ABDM是平行四边形，

∴AM∥BD，AM=BD=AE，

∴∠MAE=∠BGA=45°，

∵EH⊥AM，

∴△AHE是等腰直角三角形，

∴AH=AE，∵AM=AE，

∴AH=MH，

∴EA=EM，

∴∠EAM=∠EMA=45°，

∴∠AEM=90°．

（3）如图2中，作EH⊥AM于H．

∵EH⊥AM，∠MAE=45°，

∴△AHE是等腰直角三角形，

∴AH=AE，∵AM=AE，

∴AH=MH，

∴EA=EM，

∴∠EAM=∠EMA=45°，

∴∠AEM=90°．

如图3-1中，

∵EM=EA=CD，设CD=a，则CE=a，BC=2a，AC=2a，EA=a，

∴AC2=AE2+EC2，

∴∠AEC=90°，

∴tan∠ACE==，

∴∠ACE=60°，

∴旋转角α=60°．

如图3-2中，同法可证∠AEC=90°，∠ACE=60°，此时旋转角α=300°．

综上所述，满足条件的α的值为60°或300°．