Question

5．如图，等腰直角△ABC，AC=BC=$\sqrt{5}$，等腰直角△CDP中，CD=CP，且PB=$\sqrt{2}$，将△CDP绕点C旋转．
（1）求证：AD=PB；
（2）当∠PBC=45°时，BD有最小值；当∠PBC=135°时，BD有最大值，画图并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD=PB，只要证明△ACD≌△BCP即可．
（2）由（1）点P在以点B为圆心PB为半径的圆上运动，点D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵CA=CB，CD=CP，∠ACB=∠PCD=90°，
∴∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB．
（2）∵AC=BC=$\sqrt{5}$，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由（1）点P在以点B为圆心PB为半径的圆上运动，点D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，
当点D在线段AB上时，得到BD最小值=AB-AD=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$，此时∠PBC=45°，见图2，

当点D在BA的延长线上时，得到BD的最大值=AB+AD=$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$，此时∠PCB=135°，见图3，

故答案为45°或135°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是正确画出图形，考查学生的空间想象能力，动手画图能力，属于中考常考题型．