Question

【题目】【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．

（1）【规律探索】请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．
求证：①ME=NF；②MN∥BC．
（2）【解决问题】如图1，若BP=3，求线段MN的长；
（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，AB=CD．

∵在△ABP和△DCQ中，

，

∴△ABP≌△DCQ，

∴∠APB=∠DQG．

∴∠MPE=180°﹣2∠APB=180°﹣2∠DQC=∠NQF．

∴在△MEP和△NPQ中，

，

∴△MEP≌△NPQ，

∴ME=NF；

②∵ME∥NF，ME=NF，

∴四边形EFMN是矩形，

∴MN∥BC

（2）解：延长EM、FN交AD于点G、H．

∵AB=4，BP=3，

∴AM=4，PM=3．

∵AD∥BC，

∴EM⊥AD．

∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，

∴∠EMP=∠MAG．

∴△EMP∽△MAG．

∴ ，

设AG=4a，MG=3b．

∵四边形ABEG是矩形，

∴ ，

解得： c，

∴AG= ，同理DH= ．

∴MN=

（3）解：设PM、PN分别交AD于点E、F．

∵∠EPA=∠APB=∠PAE，

∴EA=EP．

设EA=EP=x，

在直角△AME中，42+（6﹣x）2=x2，

解得：x= ．

∴EF=12﹣2× = ．

∵EF∥MN，

∴△PEF∽△PMN．

∴ ，即 ，

解得：MN=

【解析】（1）根据矩形的性质，四边形ABCD是矩形，得到对边相等，四角都是90°，得到△ABP≌△DCQ，△MEP≌△NPQ，得到ME=NF，MN∥BC；（2）由已知条件得到△EMP∽△MAG，得到比例，求出线段MN的长；（3）根据勾股定理求出EF的长，由EF∥MN，得到△PEF∽△PMN，得到比例，求出MN的值.
【考点精析】掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．