Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB， PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）存在，P点坐标为（，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）先确定抛物线的对称轴得到D（3，0），再确定B（0，-4），连接OP，如图，设P（m，m2-m-4）（0＜m＜8），利用S△PBD=S△POD+S△POB-S△BOD=×3×（-m2+m+4）+×4×m-×3×4=×5×4得到关于m的方程，然后解方程求出m即可得到P点坐标．

解：（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y=ax2+bx﹣4得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4；

（2）存在．

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，

∴抛物线的对称轴为直线x=3，

∴D（3，0），

当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，则B（0，﹣4），

连接OP，如图，设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜8），

∵S△PBD=S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD=×5×4=10，

而△BDP的面积恰好等于△ADB的面积，

∴×3×（﹣m2+m+4）+×4×m﹣×3×4=10，

整理得3m2﹣34m+80=0，解得m1=，m2=8（舍去），

∴P点坐标为（，﹣）．