Question

某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．这种许愿瓶的进价为6元/个，根据市场调查，一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）按照上述市场调查的销售规律，当利润达到1200元时，请求出许愿瓶的销售单价x；
（3）请写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；
（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；
（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．

解答：解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b图象过点（10，300），（12，240），

10k+b=300 12k+b=240

，
解得

k=-30 b=600

，
故y=-30x+600，
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y=-30x+600的图象上，
∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600．

（2）（x-6）（-30x+600）=1200，
解得：x=10或x=16，
答：许愿瓶的销售单价x为10元或16元；

（3）w=（x-6）（-30x+600）=-30x²+780x-3600
即w与x之间的函数关系式为w=-30x²+780x-3600．
由题意得6（-30x+600）≤900，解得x≥15，
w=-30x²+780x-3600图象对称轴为x=-

780

2×(-30)

=13，
∵a=-30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x=15时，w_最大=1350．
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．

点评：考查了二次函数的应用，（1）问中，主要考察用待定系数法求一次函数的综合应用；（3）问中，主要结合（1）问中一次函数的性质，求出二次函数的最值问题．