Question

如图，△BCD的各个顶点都在⊙A上，△BCD的角平分线BF交CD于点E，交⊙A于点F，连结CF，求证：BE²=BC•BD-EC•ED．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：如图，证明△BCF∽△BED，列出比例式

BC

BE

=

BF

BD

，得到BC•BD=BE•BF；由正弦定理得：BE•EF=CE•ED，两式相减即可解决问题．

解答：解：如图，∵BF平分∠CBD，
∴∠CBF=∠DBF，而∠D=∠F，
∴△BCF∽△BED，
∴

BC

BE

=

BF

BD

，BC•BD=BE•BF①；
由正弦定理得：BE•EF=CE•ED②，
由①-②得：BE（BF-EF）=BC•BD-CE•ED，
即BE²=BC•BD-EC•ED．

点评：该题以圆为载体，以圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质为考查的核心构造而成；牢固掌握圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．