Question

新疆哈萨克民族是一个游牧民族，喜爱居住毡房（图①），毡房的顶部是圆锥形，如图②所示，毡房的顶部是圆锥，母线长AB=3m，下部是一个圆柱，母线BE=3m，已知圆锥的底部直径是5m，问：
（1）顶部圆锥侧面展开图扇形的圆心角是多少度？
（2）如果（1）中的扇形是由图③中的5个全等的小扇形拼接而成，5个扇形放在一个尽可能小的矩形中，那么建这个毡房至少需要毡布多少m²（结果保留根号）？

Answer 1

考点：圆锥的计算,圆柱的计算

专题：计算题

分析：（1）设顶部圆锥侧面展开图扇形的圆心角是n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到

n•π•3

180

=2π•

5

2

，然后解方程即可；
（2）如图③，5个小扇形的圆心角为60°，再计算出∠PNM=30°，则PM=

1

2

MN=

3

2

，于是得到矩形面积的最小值为27，然后加上圆柱的侧面积即可得到毡布面积的最小值．

解答：解：（1）设顶部圆锥侧面展开图扇形的圆心角是n°，
根据题意得

n•π•3

180

=2π•

5

2

，解得n=300，
即顶部圆锥侧面展开图扇形的圆心角是300度；
（2）如图③，∵∠NMK=

1

5

×300°=60°，
∴∠QMN=30°，
∴∠PNM=30°，
在Rt△PMN中，MN=3，
∴PM=

3

2

，
∴5个扇形放在一个尽可能小的矩形，此矩形的面积=3×

3

2

×6=27，
∴建这个毡房至少需要的毡布面积=27+2π•

5

2

•3=（27+15π）m²．

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了解直角三角形．