Question

1．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于点D，过D作⊙O的切线DE交BC于点E．
（1）若OA=3时（如图①），则ED与EC大小关系为：ED=EC（直接填写即可）；
（2）若OA＜3时（如图②），（1）中的关系是否还成立？证明你的结论；
（3）若OA＞3时（如图③），⊙O恰好经过BC的中点F，求此时⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；
（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质，求出圆的半径即可．

解答 解：（1）如图1，连接OD，

∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC，
故答案为：=；

（2）如图2，连接OD，

∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC；

（3）由BC中点为F，如图3，连接OF、OD、OE，

设OA=r，则OB=6-r，且BF=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△OBF中，由勾股定理可得：OF²=OB²+BF²，
即r²=（6-r）²+4²，
解得：r=$\frac{13}{3}$．

点评 本题主要考查圆的切线的性质及圆的基本性质、勾股定理等的综合应用，一般出现切点连接圆心和切点是常用的辅助线，再结合直角三角形进行求解即可．