Question

如图所示，已知点C为线段AB上的一点，△ACM、△BCN都是等边三角形，连接DE．
（1）试探究AN与BM的关系；
（2）求证：AD=ME；
（3）连接OC，证明∠AOC为60°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由△ACM、△BCN都是等边三角形可以得到△ACN与△MCB全等的条件，进而得到结论；
（2）由△ACN≌△MCB就可以得出∠CMB=∠CAN，再证明△MCE≌△ACD就可以得出结论；
（3）过C作CZ⊥AN于Z，作CF⊥BM于F，求出∠AOB=120°，根据面积公式求出CZ=CF，推出OC平分∠AOB，即可得出答案．

解答：（1）解：AN=BM，理由如下：
∵△ACM、△BCN都是等边三角形，
∴AC=MC，∠ACM=∠BCN，NC=BC，
∴∠ACN=∠MCB，
在△ACN与△MCB中，

AC=MC   ∠ACN=∠MCB   NC=BC

，
∴△ACN≌△MCB
∴AN=BM；

（2）证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB，
∵△ACM、△BCN都是等边三角形．
∴∠ACM=∠NCB=60°
∵∠ACM+∠NCB+∠MCN=180°，
∴∠MCN=60°．
∴∠ACM=∠MCN．
在△CAD和△CEM中，

∠CAN=∠CMB   CA=CM   ∠ACN=∠MCN

，
∴△CAD≌△CEM（SAS），
∴AD=ME；

（3）
证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∴∠AOM=∠MBC+∠NAC=∠ANC+∠NAC=∠NCB=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
过C作CZ⊥AN于Z，作CF⊥BM于F，
∵△ACN≌△MCB，
∴AN=BM，S_△ACN=S_△MCB，
∴

1

2

AN×CZ=

1

2

BM×CF，
∴CZ=CF，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=60°．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．