Question

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
（1）请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图 2，验证勾股定理；
（3）利用图2中的直角梯形，证明

a+b

c

＜

2

．

Answer 1

考点：勾股定理的证明

专题：

分析：（1）根据勾股定理用文字及符号语言叙述；
（2）利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED=90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a²+b²=c²；
（3）在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=

2

c，从而可证

a+b

c

＜

2

．

解答：解：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC；
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°；
∴∠AED=90°；
S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²；

1

2

（a²+2ab+b²）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²；
整理得a²+b²=c²．
（3）∵AD=

2

c，BC＜AD，
∴a+b＜

2

c，即

a+b

c

＜

2

．

点评：考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识．