Question

如图所示，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）在函数y=

9

x

（x＞0）的图象上，△OP₁A₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…，△P_nA_n-1A_n…都是等腰直角三角形，斜边OA₁，A₁A₂，…，A_n-1A_n，都在x轴上，则y₁+y₂=

 

，y₁+y₂+…+y_n=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：作P₁B⊥x1轴于B，P₂C⊥x轴于C，P₃D⊥x轴于D，如图，根据等腰直角三角形的性质得x₁=y₁，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到x₁•y₁=9，易得y₁=3，则A₁（6，0），于是有x₂=6+y₂，再利用x₂•y₂=9解得y₂=3

2

-3，同理得到x₃=6

2

+y₃，y_n=3

n

-3

n-1

，所以y₁+y₂+…+y_n=3

n

．

解答：解：作P₁B⊥x1轴于B，P₂C⊥x轴于C，P₃D⊥x轴于D，如图，
∵△OP₁A₁为等腰直角三角形，
∴x₁=y₁，
而x₁•y₁=9，
∴y₁=3，
∴A₁（6，0），
∴x₂=6+y₂，
∵x₂•y₂=9，
∴（6+y₂）•y₂=9，解得y₂=3

2

-3，
∴y₁+y₂=3

2

；
∴A₁A₂=6

2

-6，
∴OA₂=6

2

，
∴x₃=6

2

+y₃，
而x₃•y₃=9，
∴（6

2

+y₃）•y₃=9，解得y₃=3

3

-3

2

，
∴y_n=3

n

-3

n-1

，
∴y₁+y₂+…+y_n=3++3

2

-3+3

3

-3

2

+3

n

-3

n-1

=3

n

．
故答案为3

2

，3

n

．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=

k

x

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．