Question

14．代数式x²-xy+y²+x+y能分解为两个一次因式之积吗？若能，则分解因式；若不能，则证明此结论．

Answer 1

分析 运用反证法，假设结论成立，即为（ax+by+e）（cx+dy+f），展开式子对比探讨得出答案即可．

解答 证明：运用反证法，假设结论成立，即为（ax+by+e）（cx+dy+f）
展开式得 
（ax+by+e）（cx+dy+f）=acx²+bdy²+（af+ce）x+（ad+bc）xy+（bf+de）y+ef
由原式原式可知
ac=1①
bd=1②
af+ce=1③
bc+ad=-1④
bf+de=1⑤
ef=0⑥
由①、②式得a=$\frac{1}{c}$，b=$\frac{1}{d}$，
将a、b分别带入④式 得$\frac{c}{d}$+$\frac{d}{c}$=-1，
设$\frac{c}{d}$=m，则m+$\frac{1}{m}$=-1
整理得到m²+m+1=0，
方程m²+m+1=0无解，
故原假设不成立，
故x²-xy+y²+x+y不能分解为两个一次因式的乘积．

点评 此题考查了因式分解的实际运用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键．