Question

3．如图所示扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，D为弧上一动点，过D作DE∥OA交OB于点E．I为△ODE的内心，当点D运动时，I也随着运动．则经过O、I、B三点的弧所在圆的半径为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接OI、DI、BD，以OD为弦作圆C，在圆C上取一点F．I是△ODE的内心，则三角形I是三角形条角平分线的交点，故此可求得∠OID=135°，∠DOI=∠BOI，于是可证明△△DOI≌△BOI，得到∠OIB=∠OID=135°，故此点I在以OB为弦且所对的圆周角为135°的一段劣弧上，由圆内接四边形的性质可知∠F=45°，由圆周角定理可求得∠OCD=90°，最后利用特殊锐角三角函数可求得OC=3$\sqrt{2}$．

解答 解：如图所示：连接OI、DI、BD，以OD为弦作圆C，在圆C上取一点F．

∵I是△ODE的内心，
∴∠IDO=$\frac{1}{2}$∠EDO，∠DOI=$\frac{1}{2}$∠DOB．
∴∠IDO+∠DOI=$\frac{1}{2}$（∠EDO+∠DOB）=$\frac{1}{2}×90°$=45°．
∴∠OID=45°．
∵I是△ODE的内心，
∴∠DOI=∠BOI．
在△DOI和△BOI中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOI=∠BOI}\\{OI=OI}\end{array}\right.$，
∴△△DOI≌△BOI．
∴∠OIB=∠OID=135°．
∴点I在以OB为弦且所对的圆周角为135°的一段劣弧上．
∵四边形OFDI是圆内接四边形，
∴∠F+∠OID=180°．
∴∠F=45°．
∴∠OCD=90°．
∵CO=CB，
∴∠COD=45°．
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}×6$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数，圆内接四边形的性质，证得点I在以OB为弦且所对的圆周角为135°的一段劣弧上是解题的关键．