在梯形ABCD中.AD∥BC.AB⊥AD.AB=4.AD=5.CD=5．E为底边BC上一点.以点E为圆心.BE为半径画⊙E交射线ED于点F．设BE=y.DF=x．(1)求BC的长度及sin∠C的值,(2)如图.当点F在线段DE上时.①试求y关于x的函数关系式②当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时.求y的值,(3)连接AF.BF.当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时.直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交射线ED于点F．设BE=y，DF=x．
（1）求BC的长度及sin∠C的值；
（2）如图，当点F在线段DE上时，
①试求y关于x的函数关系式
②当以CD直径的⊙O与⊙E与相切时，求y的值；
（3）连接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，直接写出所有y的值．

分析（1）如图1，作辅助线；运用矩形的性质，结合勾股定理，即可解决问题．
（2）①运用勾股定理列出关于x、y的关系式（x+y）²=4²+（5-y）²，求出y即可解决问题．
②如图①，作辅助线；运用分类讨论的数学思想，按⊙O与⊙E内切或外切两种情况来分类解析；借助勾股定理列出关于y的方程，求出y，即可解决问题．
（3）如图2或图3，运用分类讨论的数学思想，按当FA=FB或FA=AB时，两种情况来分类解析；借助三角形的面积公式或勾股定理列出关于y的方程，求出y即可解决问题．

解答解：（1）如图1，过点D作DG⊥BC于点G；
∵AD∥BC，AB⊥AD，
∴四边形ABGD为矩形，
∴DG=AB=4，BG=AD=5；由勾股定理得：
CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=3，
∴BC=8，sin∠C=$\frac{DG}{DC}=\frac{4}{5}$．
（2）①，如图1，EG=5-y；
由勾股定理得：DE²=DG²+EG²，即（x+y）²=4²+（5-y）²，
∴y=$\frac{41-{x}^{2}}{2x+10}$．
②如图1，设CD的中点为O，连接EO；
过点O作OH⊥BC于点H；则OH∥DG，OC=$\frac{5}{2}$；
∴GH=CH=，OH=DG=2，EH=8-y-
当⊙O与⊙E外切时，OE=y+$\frac{5}{2}$；在直角△OEH中，
OE²=OH²+EH²，即$（y+\frac{5}{2}）^{2}=（\frac{13}{2}-y）^{2}+{2}^{2}$
解得：y=$\frac{20}{9}$；
当⊙O与⊙E内切时，OE=|y-$\frac{5}{2}$|；在直角△OEH中，
OE²=OH²+EH²，即$（y-\frac{5}{2}）^{2}=（\frac{13}{2}-y）^{2}+{2}^{2}$，
解得：y=5．
综上所述，当⊙O与⊙E相切时，y=$\frac{20}{9}$或5．
（3）如图2，连接AF、AE；当AF=AB=4时，
在△ABE与△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AE=AE}\\{BE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE（SSS），
∴∠AFE=∠ABE=90°，AF=AB=4；
由勾股定理得：DF=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
由三角形的面积公式得：
$\frac{1}{2}AD•AB=\frac{1}{2}DE•AF$，
解得：DE=5，
∴BE=EF=5-3=2，即y=2．
如图3，当FA=FB时，
过点F作QF⊥AB于点Q，过点E作EG⊥DA于点G；
则AQ=BQ，EG=BA=4，AG=BE=y；
∵AD∥BC∥FQ，
∴DF=EF=y；
由勾股定理得：（2y）²=4²+（5-y）²，
解得：y=$\frac{2\sqrt{37}-5}{3}$，
综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，y的所有取值为2或$\frac{2\sqrt{37}-5}{2}$．

点评该题以直角梯形和圆为载体，以考查勾股定理、相切两圆的性质、等腰三角形的性质及其应用等几何知识点为核心构造而成；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用勾股定理、相切两圆的性质等知识点来分析、判断、推理或解答．

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9．

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A．

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B．

115°

C．

36°

D．

65°

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