【题目】二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1,0),点B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.
(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;
(2)连接BD,当t=时,求△DNB的面积;
(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标.
【答案】(1);(2)2;(3)D(1,3)或D(3,2).
【解析】
(1)根据二次函数经过A,B两点,分别代入二次函数解析式,解二元一次方程组即可求出a和b的值.
(2)根据B,C两点可以求出直线BC的解析式,再根据t=可以求出N点和D点坐标,然后求出△DBM的面积与△BMN的面积,根据 可求求△DNB的面积.
(3)PC2=(2t﹣1)2+(m﹣2)2,PB2=(2t﹣5)2+m2,PB=PC,则(2t﹣1)2+(m﹣2)2=(2t﹣5)2+m2,且PC⊥PB,==﹣1,即可求解.
(1)将点A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2,
∴a=﹣,b=,
∴y=﹣x2+x+2;
(2)C(0,2),
∴BC的直线解析式为y=﹣x+2,
当t=时,AM=3,
∵AB=5,
∴MB=2,
∴M(2,0),N(2,1),D(2,3),
∴△DNB的面积=△DMB的面积﹣△MNB的面积=MB×DM﹣MB×MN=×2×2=2.
(3)∵BM=5﹣2t,
∴M(2t﹣1,0),
设P(2t﹣1,m),
∵PC2=(2t﹣1)2+(m﹣2)2,PB2=(2t﹣5)2+m2,
∵PB=PC,
∴(2t﹣1)2+(m﹣2)2=(2t﹣5)2+m2,
∴m=4t﹣5,
∴P(2t﹣1,4t﹣5),
∵PC⊥PB,
∴==﹣1
∴t=1或t=2,
∴M(1,0)或M(3,0),
∴D(1,3)或D(3,2).
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=8,∠CBD=30°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF~△ACD,其中一定正确的是( )
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①ac<0,②b﹣2a<0,③b2﹣4ac<0,④a﹣b+c<0,正确的是( )
A.①②B.①④C.②③D.②④
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【题目】已知:如图,△ABC内接于⊙O,AF是⊙O的弦,AF⊥BC,垂足为D,点E为上一点,且BE=CF,
(1)求证:AE是⊙O的直径;
(2)若∠ABC=∠EAC,AE=4,求AC的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
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【题目】已知关于x的方程
(1)求证:不论k取什么实数值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长为,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
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【题目】如图,⊙O在矩形ABCD内,且与AB、BC边都相切,E是BC上一点,将△DCE沿DE对折,点C的对称点F恰好落在⊙O上,已知AB=20,BC=25,CE=10,则⊙O的半径为______.
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