Question

【题目】如图，⊙O在矩形ABCD内，且与AB、BC边都相切，E是BC上一点，将△DCE沿DE对折，点C的对称点F恰好落在⊙O上，已知AB=20，BC=25，CE=10，则⊙O的半径为______.

Answer 1

【答案】5

【解析】

过点F作AD，BC的垂线GH，过O作MN∥BC交AB于M，GH于N，易证△DGF∽△FHE，利用相似三角形的性质即可求出DG=HC=16，GF=12，FH=8，设圆O的半径为r，在直角三角形FON中，利用勾股定理可得关于r的方程，解方程求出r的值即可．

过点F作AD,BC的垂线GH,过O作MN∥BC交AB于M，GH于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

∵将△DCE沿DE对折，点C的对称点F恰好落在O上，

∴∠DFE=90°，

∴∠GFD+∠HFE=90°，

∵∠GFD+∠GDF=90°，

∴∠GDF=∠HFE，

∴△DGF∽△FHE，

∴，

∵AB=20，BC=25，CE=10，

∴DG=HC=16，GF=12，FH=8，

设圆O的半径为r，

在直角三角形FON中, ，

解得：r=5，

故答案为：5.