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【题目】已知:如图,ABC内接于⊙OAF是⊙O的弦,AFBC,垂足为D,点E为上一点,且BE=CF

1)求证:AE是⊙O的直径;

2)若∠ABC=EACAE=4,求AC的长.

【答案】1)见解析;(2AC=2.

【解析】

1)由BE=CF,则可证得∠BAE=FAC,根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可;
2)连接OC,根据圆周角定理证明AOC是等腰直角三角形,由勾股定理即可求得.

1)证明:∵BE=CF

∴∠BAE=CAF
AFBC
∴∠ADC=90°
∴∠FAC+ACD=90°
∵∠E=ACD
∴∠BAE+E=90°
∴∠ABE=90°
AE是⊙O的直径 .
2)解:连结OC


∴∠AOC=2ABC
∵∠ABC=CAE
∴∠AOC=2CAE
OA=OA
∴∠CAO=ACO=AOC
∴△AOC为等腰直角三角形,
AE=4
AO=CO=2
AC=.

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(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BDCD,ABD=2BCD,且ABC准互余三角形,求对角线AC的长.

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(1)画出ABC沿x轴负方向平移2个单位后得到的△A1B1C1,并写出B1的坐标   

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