Question

【题目】如图，直线L：交x轴与点A，交y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2，点D在线段AC上，且∠CDB=∠ABC，过点C作BC的垂线，交BD的延长线与点E，并联结AE

（1）求证：△CDB∽△CBA

（2）求点E的坐标

（3）若点P是直线CE上的一动点，联结DP若△DEP和△ABC相似，求点P的坐标

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）E（-2，-2）；（3），.

【解析】

（1）直接由题目已知∠CDB=∠ABC和公共角∠BCA=∠BCA得出；

（2）先利用勾股定理，求出，由△CDB∽△CBA，得到，可求出CD的长度，找出D点的坐标，再利用B,D两点坐标，求出直线BD的关系式为，设点E的坐标为（a，3a+4），根据△BCE是等腰直角三角形，利用勾股定理可得，化简求值即可；

（3）根据题意和（1）、（2）中的结果，利用分类讨论的方法可以求得点P的坐标．

解：（1）∵∠CDB=∠ABC，∠BCA=∠BCA，

∴△CDB∽△CBA

（2）由（1）可知△CDB∽△CBA，

∴ ,

∴，

∵直线L：交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），
∴在Rt△AOB中，，

∴，

又∵，

∴，

∴在Rt△OCB中，
，

根据，

∴，

∴

即：，，

设过点B（0，4），的直线解析式为，

∴，解之得： ，

即直线BD的解析式为，
∵点E在直线BD上，
∴设点E的坐标为（a，3a+4），
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠BAC=45°，

∵△ABC∽△BDC，∠BAC=∠DBC，
∴∠DBC=45°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCE=90°，
∴∠BEC=45°，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE，

∵点B（0，4），点C（2，0），点E（a，3a+4），

∴

解得，a=-2或a=0（舍去），
当a=-2时，3a+4=-2，

∴点E的坐标为（-2，-2），

（3）由（2）知，∠DEP=45°，∠BAC=45°，
当∠EDP=∠ABC时，△DEP与△ABC相似，

则： ，

∵ ，AC=6，点D（，0），点E（-2，-2），

∴，

∴ ，

解得， ，

设过点E（-2，-2），C（2，0）的直线解析式为，

，解之得： ，

即直线EC的解析式为 ，

∵点P在直线EC上，
∴设点P的坐标为（c，），

∵点E（-2，-2），，

解得，c=-4（舍去）或c=0，
∴当c=0时， ，

即点P的坐标为（0，-1）；
当∠EPD=∠ABC时，△DEP与△ABC相似，
则，

∵ ，AC=6，，

∴，解得：，

∵直线EC的解析式为，点P在直线EC上，

∴设点P的坐标为（d，），

∵点E（-2，-2），，

∴，

解得： （舍去）或 ，

当时，，

即点P的坐标为（，）；
由上可得，当△DEP与△ABC相似时，点P坐标是（0，-1）或

（，）．