Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，BD交AC于点E，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F.

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AF=2，FD=4，求tan∠BEC的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；(2)tan∠BEC=2

【解析】分析：（1）欲证明DF是⊙O的切线，只要证明OD⊥DF ，OD⊥AC

即可。（2）连接AD,在△ODF中利用勾股定理可求出⊙O的半径，由△ABE∽△FBD可得AE=3，再由△BDA∽△ADE可得，而∠BEC=∠AED从而即可得出结果。

本题解析：

（1）证明：连接OD

∵D是的中点 ∴OD⊥AC

∵DF∥AC ∴OD⊥DF

∵OD为⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线

(2)连接AD，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OF=2+r

∵∠ODF=90°, ∴，解得：r=3，∴AB=6，BF=8

∵DF∥AC，∴△ABE∽△FBD, ∴,即，∴AE=3

∵D是的中点，∴∠B=∠DAE ，

∵∠BDA=∠ADE，∴△BDA∽△ADE, ∴ ,

AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°, ∴tan∠AED=

∵∠BEC=∠AED，∴tan∠BEC=2