Question

【题目】如图，△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC

于点E、F、G，连接DE、DG．

(1)求证：四边形DGCE是菱形；

(2)若∠ACB=30°，∠B=45°，CG=10，求BG的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)BG= 5+5．

【解析】

（1）由角平分线的性质和中垂线性质可得∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，DE=EC，可证四边形DGCE是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC，由锐角三角函数可求DH的长，GH的长，BH的长，即可求BG的长．

(1)∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠DCG

∵EG垂直平分CD，

∴DG=CC，DE=EC

∴∠DCG=∠GDC，∠ACD=∠EDC

∴∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC

∴CE∥DG，DE∥GC

∴四边形DECG是平行四边形

又∵DE=EC

∴四边形DGCE是菱形

(2)如图，过点D作DH⊥BC，

∵四边形DGCE是菱形，

∴DE=DG=GC=10，DG∥EC

∴∠ACB=∠DGB=30°，且DH⊥BC

∴DH=5，HG=DH=5

∵∠B=45°，DH⊥BC

∴∠B=∠BDH=45°

∴BH=DH=5

∴BG=BH+HG=5+5