Question

【题目】二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有一正一负两个实数解.其中结论正确的个数为（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由抛物线开口方向得到a＞0，对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＜0，可得出abc＞0，选项①错误；

②把b＝2a代入ab＋c＞0中得3a＋c＞0，所以②正确；

③由x＝1时对应的函数值y＜0，可得出a＋b＋c＜0，得到a＋c＜b，x＝1时，y＞0，可得出ab＋c＞0，得到|a＋c|＜|b|，即可得到（a＋c）2b2＜0，选项③正确；

④由对称轴为直线x＝1，即x＝1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确．

⑤令y2=,则y2≥1，根据函数图像可得交点的横坐标为一正一负，故可判断⑤.

解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0

∵抛物线与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，①错误；

②当x＝1时，y＞0，∴ab＋c＞0，

∵＝1，∴b＝2a，

把b＝2a代入ab＋c＞0中得3a＋c＞0，所以②正确；

③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，

∴a＋c＜b，

当x＝1时，y＞0，∴ab＋c＞0，

∴a＋c＞b，

∴|a＋c|＜|b|

∴（a＋c）2＜b2，所以③正确；

④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，

∵，∴-m＜0，

由图像可知，当x=-m时，y＞a＋b＋c，

∴，④正确．

⑤令y2=,则y2≥1，根据函数图像可得交点的横坐标为一正一负，故方程有一正一负两个实数解，正确.

故选：D．