【题目】已知: 和矩形如图①摆放(点与点重合),点, 在同一直线上, , , .如图②,从图①的位置出发,沿方向匀速运动,速度为1 , 与交于点,与BD交于点K;同时,点从点出发,沿方向匀速运动,速度为1 .过点作,垂足为,交于点,连接,当点停止运动时, 也停止运动.设运动事件为.解答下列问题:
(1)当为何值时, ?
(2)在运动过程中,是否存在某一时刻,使?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(3)在运动过程中,
①当t为 秒时,以PQ为直径的圆与PE相切,
②当t为 秒时,以PQ的中点为圆心,以 cm为半径的圆与BD和BC同时相切.
【答案】(1);(2)t=2;(3)①t=,②t=4,r=2 .
【解析】试题分析:(1)如图1中,当PQ∥BD时, ,可得,解方程即可;
(2)假设存在,如图2中,当0<t<6时,S五边形AFPQM==S△ABF+S矩形ABCD-S△CPQ-S△MDQ,由此计算出五边形AFPQM的面积.根据题意列出方程即可解决问题;
(3)①当以PQ为直径的圆与PE相切时,PQ⊥PE,可证得△PFE∽△QCP,得到,然后代入含t的式子,列出方程即可求出t的值;
②设PQ的中点为O,连接BO并延长,交CD与点J,过O作OI⊥BC,过J作JK⊥BD.由过点O的圆与BC、BD都相切可证得BJ平分∠DBC,根据角平分线的性质可得JC=JK,BK=BC=8,DK=BD-BK=2,JC=JK=x,在Rt△JKD中,由勾股定理求出JC的值,由O是PQ的中点,根据三角形中位线的性质用t表示OI,PI,进而表示出BI,然后由△BOI∽△BJC得,代入数据即可求出t的值,进而求出圆的半径.
试题解析:
解:(1)若PQ∥BD,则△CPQ∽△CBD,
∴,即,
解得:t=;
(2)由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°,
可得∠MQD=∠CBD.
又∠MDQ=∠C=90°,
∴△MDQ∽△DCB,
∴,
即,
∴MD=,
则S五边形AFPQM==S△ABF+S矩形ABCD-S△CPQ-S△MDQ
=AB×BF+AB×BC-PC×CQ-MD×DQ
=×6×(8-t)+6×8- (8-t)×t-××(6-t)
=(0<t<6).
假使存在t,使S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8,
则S五边形AFPQM=S矩形ABCD=54,
即=54,
整理得t2-20t+36=0,
解得t1=2,t2=18>6(舍去),
答:当t=2,S五边形AFPQM:S矩形ABCD=9:8;
(3)①当以PQ为直径的圆与PE相切时,PQ⊥PE,
∴∠EPF+∠QPC=90°,
又∵∠E+∠EPF=90°,
∴∠E=∠QPC,
∵∠EFP=∠C=90°,
∴△PFE∽△QCP,
∴,
∴,
解得t=,
即t=秒时,以PQ为直径的圆与PE相切;
②设PQ的中点为O,连接BO并延长,交CD与点J,过O作OI⊥BC,过J作JK⊥BD,
∵过点O的圆与BC、BD都相切,
∴BJ平分∠DBC,
∵∠C=90°,JK⊥BD,
∴JC=JK,BK=BC=8,
DK=BD-BK=10-8=2,
设JC=JK=x,则JD=6-x,
在Rt△JKD中,由勾股定理得:x2+22=(6-x)2,
解得x=,
CP=BC-
∵O是PQ的中点,OI⊥BC,
∴OI=CQ=t,PI=CI= (8-t)=4-t,
∴BI=BP+PI=t+4-t=4+t,
∵OI⊥BC,∠C=90°,
∴OI∥JC,
∴△BOI∽△BJC,
∴,
即,
解得t=4,
此时圆的半径为OI=t=2.
故答案为:4,2.
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【题目】某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒.
(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒?
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?
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【题目】如图,放置的, , ,…都是边长为2的等边三角形,边在轴上,点, , ,…都在直线上,则的坐标是( )
A. (2017,2017) B. (2017,2017)
C. (2017,2018) D. (2017,2019)
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【题目】如图,在△ACB中,AB=AC=5,BC=6,点D在△ACB外接圆的弧AC上, AE⊥BC于点E,连结DA,DB.
(1)求tan∠D的值.
(2)作射线CD,过点A分别作AH⊥BD,AF⊥CD,垂足分别为H,F. 求证:DH=DF.
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【题目】如下图,搭一个正方形需要4根火柴棒,搭2个正方形需要7根火柴棒,搭3个正方形需要10根火柴棒.
……
(1)若搭5个这样的正方形,这需要 根火柴棒;
(2)若搭n个这样的正方形,这需要 根火柴棒;
(3)若现在有2018根火柴棒,要搭700个这样的正方形,至少还需要火柴多少根?
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【题目】解答题
已知张强家.体育场.文具店在同一直线上.下面的图象反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示张强离家的距离.据图象回答下列问题:
(1)体育场离张强家多远?张强从家到体育场用了多少时间?
(2)张强在文具店停留了多少时间?
(3)张强从文具店回家平均每分钟走多少千米?
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【题目】(1)小My同学在网络直播课中学习了勾股定理,他想把这一知识应用在等边三角形中:边长为a的等边三角形面积是 (用含a的代数式表示);
(2)小My同学进一步思考:是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形(不重叠、无缝隙)?
①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形,那么该三角形边长的平方是 ;
②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG:M、N分别为AB、CD边上的中点,P、Q是边BC、AD上两点,G为MQ上一点,且∠MGP=∠PGN=∠NGQ=60°.
请补全图形,画出拼成正三角形的各部分分割线,并标号;
③正方形ABCD的边长为2,设BP=x,则x2= .
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