【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O直径,E是CB延长线上一点,且∠BAE=∠C.
(1)求证:直线AE是⊙O的切线;
(2)若∠BAE=30°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积;
(3)若EB=AB,cos∠E=,AE=24,求EB的长及⊙O的半径.
【答案】(1)见解析;(2) π﹣;(3)BE=20,半径:.
【解析】
(1)连接BD,利用圆周角定理得到∠ABD=90°,则∠D+∠DAB=90°,再利用等量代换证明∠DAE=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)连接OB,先计算出∠OAB=60°,得到△AOB为等边三角形,所以∠AOB=60°,然后利用阴影部份的面积=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算;
(3)作BH⊥AE于H,利用等腰三角形的性质得AH=EH=AE=12,∠E=∠BAE.在Rt△BEH中利用余弦的定义可计算出BE=20,则AB=20,由于∠D=∠C=∠BAE=∠E,则cos∠D=.在Rt△ABD中,cos∠D==,设BD=3x,AD=5x,易得4x=20,解出x得到AD的长,从而得到⊙O的半径.
(1)连接BD,如图,∵AD为直径,∴∠ABD=90°,∴∠D+∠DAB=90°.
∵∠C=∠D,∠BAE=∠C,∴∠BAE+∠DAB=90°,即∠DAE=90°,∴AD⊥AE,∴直线AE是⊙O的切线;
(2)连接OB,如图,∵∠BAE=30°,∴∠OAB=60°,而OA=OB,∴△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴阴影部份的面积=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×22=π﹣;
(3)作BH⊥AE于H,如图,∵EB=AB,∴AH=EH=AE=12,∠E=∠BAE.在Rt△BEH中,∵cos∠E==,∴BE=12×=20,∴AB=BE=20.
∵∠D=∠C=∠BAE=∠E,∴cos∠D=.在Rt△ABD中,cos∠D==,设BD=3x,AD=5x,∴AB=4x,即4x=20,解得:x=5,∴AD=25,∴⊙O的半径为.
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【题目】今年某市为创评“全国文明城市”称号,周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签方式确定2名女生去参加.抽签规则:将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面,把四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,梁老师先从中随机抽取一张卡片,记下姓名,再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张,记下姓名.
(1)该班男生“小刚被抽中”是 事件,“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”);第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ;
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果,并求出“小惠被抽中”的概率.
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【题目】(12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
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【题目】在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距km的C处.
(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.
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【题目】将进货单价为40元的商品按50元售出,能售出500件,如果该商品涨价1元,其销售量就要减少10件,为了赚取8000元的利润,售价应定为多少元?这时应进货多少件?
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【题目】如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P,Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且点P不与点A,C重合,那么当点P运动到什么位置时,才能使△ABC与△APQ全等?
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【题目】将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,我们将这种变换记为[θ,n].
(1)如图①,对△ABC作变换[60°,]得△AB′C′,则S△AB′C′:S△ABC= ;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度;
(2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC 作变换[θ,n]得△AB'C',使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB'C'为矩形,求θ和n的值;
(3)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB'C'为平行四边形,求θ和n的值.
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【题目】如图,直线l为y=x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3;……,按此作法进行下去,则点An的坐标为(_______).
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