Question

15．如图，直角△ACD中，B为AD延长线上一点，且满足AB=CD，在CD上的一点E满足DE=DB，连接BE，F为BE中点，延长AF与过B点的DC的平行线交于点G，连接CG，求证：∠CAG=45°，AD+BG=CG．

Answer 1

分析 过E做EH⊥CD交AG延长线于点H，连接CH，令AG与CD的交点为K，由已知的边角关系可证得CH=CA，且ACH=90°，从而得出结论，再证AD+BG=CG时，通过三角形全等证得AD=CE，BG=EK，将AD+BG换成CE+EK，只要再证得△CAK≌△CHG，即可得出结论．

解答 解：过点E做EH⊥CD交AG延长线于点H，连接CH，令AG与CD的交点为K，如图，

∵EH∥AB，
∴∠BAF=∠EHF，
∵F为BE中点，
∴EK=BK，
在△EFH和△BFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠EHF}\\{∠EFH=∠BFA}\\{EK=BK}\end{array}\right.$，
∴△EFH≌△BFA（AAS），
∴EH=BA，FH=FA，
∴EH=BA=CD，
CE=CD-DE=AB-DB=AD，
在△CEH和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=EH}\\{∠HEC=∠CDA=90°}\\{CE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CEH≌△ADC（SAS），
∴CA=CH，∠ACD=∠CHE，∠ECH=∠DAC，
∴∠ACD+∠ECH=∠CHE+∠DAC=90°，
∴∠CAH=∠CHA=45°．
∵BG∥CD，
∴∠FEK=∠FBG，∠FKE=∠FGB，
在△EFK和△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEK=∠FBG}\\{∠FKE=∠FGB}\\{EF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EFK≌△BFG（AAS），
∴EK=BG，
∴AD+BG=CE+EK=CK，
∵FK=FG，FA=FH，
∴AK=HG，
在△CAK和△CHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AK=HG}\\{∠CAK=∠CHG=45°}\\{CH=AC}\end{array}\right.$
∴△CAK≌△CHG（SAS），
∴CK=CG，
∴AD+BG=CK=CG．
证毕．

点评 本题考查的全等三角形的判定和性质，解题的关键是，将要证相等的角放入同一个三角形去证等腰，证相等的边与边的关系，将两边之和化成一条与其相等的边，去证两三角形全等，本题是一道较发杂题，做题过程中要注意别写乱字母．