Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）满足条件的点E的坐标为(0，1)或(，)或(，)；（3）面积的最大值为．

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）利用配方法及一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B，D的坐标，设点E的坐标为（x，x+1），分点E在线段AC上及点E在线段AC（或CA）延长线上两种情况考虑：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x+3），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，由BD的长结合点E的坐标可得出点F的坐标为（x，x﹣1），再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点E的坐标．综上，此问得解；

（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0），结合点A，C的坐标及S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，可得出S△APC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+2x+3．

设直线AC的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），

将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：

，解得：，

∴直线AC的函数关系式为y＝x+1．

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴点D的坐标为（1，4）．

当x＝1时，y＝x+1＝2，

∴点B的坐标为（1，2）．

设点E的坐标为（x，x+1）．

分两种情况考虑（如图1）：

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

∴点F的坐标为（x，x+3）．

∵点F在抛物线上，

∴x+3＝﹣x2+2x+3，

解得：x1＝0，x2＝1（舍去），

∴点E的坐标为（0，1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，

∴点F的坐标为（x，x﹣1）．

∵点F在抛物线上，

∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，

解得：，

∴点E的坐标为（）或（，）．

综上：满足条件的点E的坐标为（0，1），（）或（，）．

（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，如图2所示．

设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0）．

∵点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（2，3），

∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，

∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，

．

∴当x＝时，S△APC取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（）．