Question

5．已知：m，n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先解方程求得m和n的值，得到A和B的坐标，然后利用待定系数法即可求得解析式；
（2）首先求得C和D的坐标，作作DE⊥y轴于点E，根据S_△BCD=S_梯形OCDE-S_△DEB-S_△OBC求解．

解答 解：（1）解方程x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
则m=1，n=5．
A的坐标是（1，0），B的坐标是（0，5）．
代入二次函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是y=-x²-4x+5；
（2）解方程-x²-4x+5=0，
解得：x₁=-5，x₂=1．
则C的坐标是（-5，0）．
y=-x²-4x+5=-（x²+4x+4）+9=-（x+2）²+9，
则D的坐标是（-2，9）．
作DE⊥y轴于点E，则E坐标是（0，9）．
则S_梯形OCDE=$\frac{1}{2}$（OC+DE）•OE=$\frac{1}{2}$×（2+5）×9=$\frac{63}{2}$，
S_△DEB=$\frac{1}{2}$BE•DE=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
S_△OBC=$\frac{1}{2}$OC•OB=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，
则S_△BCD=S_梯形OCDE-S_△DEB-S_△OBC=$\frac{63}{2}$-4-$\frac{25}{2}$=15．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，正确作出辅助线转化为易求面积的图形的和、差是关键．