Question

已知△ABC中，CA=CB，点O为AB的中点，∠ACB=120°，EF分别在直线AC、BC上，且∠EOF=60°．
（1）求证：OE=OF；
（2）求证：CE+CF=

1

2

AC；
（3）探究CE、CF、AC之间的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：找到AC中点G，连接GO，CO，
（1）易证CO=GO，∠GOE=∠COF，即可求证△GOE≌△COF，即可解题；
（2）根据△GOE≌△COF，可得GE=CF，即可解题；
（3）根据（2）中结论即可解题．

解答：解：找到AC中点G，连接GO，CO，

（1）∵AC=BC，O为AB中点，∴CO⊥AB，∠BCO=60°，
∵G为AC中点，
∴OG=

1

2

AC=GC，
∵∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OC=

1

2

AC，
∴CO=GO，
∴△OGC为等边三角形，
∴∠GOC=60°，
∵EOF=60°
∴∠GOE=∠COF，
在△GOE和△COF中，

∠CGO=∠OCB ∠GOE=∠COF GO=CO

，
∴△GOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF；
（2）∵△GOE≌△COF，
∴GE=CF，
∴CF+CE=CE+GE=CG，
∴CE+CF=

1

2

AC；
（3）根据（2）中结论可以得出CE+CF=

1

2

AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GOE≌△COF是解题的关键．