Question

如图，OE是⊙O的半径，弦AB垂直平分OE，点D是

AEB

上一点（与端点A，B不重合），以点D为圆心的⊙D与AB相切，过点A，B分别作⊙D的切线，两条切线相交于点C，点P，Q，R为切点．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若⊙O半径为6，⊙D半径为2，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接DA、DB、OA、OB，则由条件可知AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，则可得∠ACB=180°-2（∠BAD+∠ABD）=180°-∠AOB，由条件可求得∠AOB=120°，可求得∠ACB；
（2）由⊙O半径为6，可求得AB的长，由⊙D半径为2，可求得CD和CR的长，则可求得△ABC的周长为2AB+2CQ，计算即可．

解答：解：（1）如图1，连接DA、DB、OA、OB、OD，

由题可知D为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2（∠DAB+∠DBA），
∵OE是⊙O的半径，弦AB垂直平分OE，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，
且∠DOB=2∠DAB，∠BOA=2∠DBA，
∴∠ACB=180°-2（∠DAB+∠DBA）=180°-∠AOB=60°；
（2）如图2，连接CD，

由（1）可知∠AOE=∠BOE=60°，且OA=OB=6，
∴AB=6

3

，
在Rt△DQC中，DQ=2，∠DCQ=

1

2

∠ACB=30°，
∴CQ=2

3

，
又∵AB、AC、BC都为切线，
∴AP=AQ，BP=BR，CQ=CR，
∴AB+AC+BC=AB+AQ+BR+CQ+CR=2AB+2CQ=12

3

+4

3

=16

3

，
即△ABC的周长为16

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及圆周角定理、切线长定理，由条件得到D为△ABC的内心是解题的关键，注意角平分线和切线长定理的应用．