Question

如图1，A是OB的垂直平分线上一点，P为y轴上一点且∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；
（3）如图2，若点A是OB的垂直平分线上一点，已知A（2，5），∠OPB=∠OAB，求PO+PB的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）根据垂直平分线性质可得OA=AB，根据∠AOB的大小可以求得∠OPB=60°，根据30°角所对直角边为斜边一半即可求得P点坐标；
（2）在PB上取一点E，使OP=OE，可证∠POA=∠EOB，可证△POA≌△EOB，可得PA=EB，即可解题；
（3）延长BA交y轴于点D，过A作AH⊥x轴，AE⊥y轴，可证BP=PD，即可求得PO+PB=OP+PD=OD即可解题．

解答：解：（1）∵∠OPB=∠OAB，∠AOB=60°，
∴∠OPB=60°，
∴∠OBP=30°，
∵PB=4，
∴OP=2，
∴P点坐标为（0，2）；
（2）在PB上取一点E，使OP=OE，

∵∠OPE=60°，
∴△POE是等边三角形，
∴∠POE=60°，PE=PO=OE，
∵∠AOB=60°，
∴∠POA=∠EOB 
在△POA和△EOB中，

OP=OE ∠POA=∠EOB OA=OB

，
∴△POA≌△EOB（SAS），
∴PA=EB，
∴PB=PE+EB=PO+PA； 
（3）延长BA交y轴于点D，过A作AH⊥x轴，AE⊥y轴；

∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
∵∠ABO+∠ODB=∠AOB+∠AOD=90°，
∴∠AOD=∠ODB，
∴∠ODB=∠ABP，
∴AD=OA，BP=PD，
∴E为OD中点，
∵OE=AH=5，
∴PO+PB=OP+PH+HB=OP+PE+OE=2OE=10．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中每一问作辅助线构建全等三角形是解题的关键．