精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8),且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.

(1)求此抛物线的表达式;

(2)连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,B不重合),过点E作EFAC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;

(3)在(2)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并判断S取得最大值时BCE的形状;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2x+8;(2)﹣m2+4m,(3)△BCE为等腰三角形.理由见解析.

【解析】

(1) 先解一元二次方程, 得到线段0B、 OC的长, 也就得到了点B、 C两点坐标, 根据抛物线的对称性可得点A坐标A、 B、 C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式;

(2)易得=-,只需利用平行得到三角形相似, 求得EF, 进而利用相等角的正弦值求得ΔBEFBE边上的高;

(3) 利用二次函数求出最值, 进而求得点E坐标. OC垂直平分BE, 那么EC=BC, 所求的三角形是等腰三角形.

(1)∵点B的坐标为(2,0),抛物线的对称轴是直线x=﹣2,

由抛物线的对称性可得点A的坐标为(﹣6,0),

点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,

c=8,将A(﹣6,0)、B(2,0)代入表达式,得

解得

所求抛物线的表达式为y=﹣x2x+8;

(2)依题意,AE=m,则BE=8﹣m,

∵OA=6,OC=8,

∴AC=10,

∵EF∥AC,

∴△BEF∽△BAC,

=  即=

∴EF=

过点F作FGAB,垂足为G,

则sin∠FEG=sin∠CAB=

=

∴FG==8﹣m,

∴S=SBCE﹣SBFE=(8﹣m)×8﹣(8﹣m)(8﹣m)=(8﹣m)(8﹣8+m)=(8﹣m)m=﹣m2+4m,

(3)由S=﹣m2+4m=﹣(m﹣4)2+8可知,S存在最大值,

当m=4时,S最大值=8,

∵m=4,

∴AE=4,

∵OA=6,

∴OE=2,

点E的坐标为(﹣2,0),

∵B(2,0),C(0,8),

∴△BCE为等腰三角形.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】⊙O的直径为2,AB,AC为⊙O的两条弦,AB=,AC=,则∠BAC=_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1所示,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于 两点.

1)求一次函数和反比例函数的解析式;

2)设点是反比例函数图象上两点,,求的值;

3)若Mx1y1)和Nx2y2)两点在直线AB上,如图2所示,过MN两点分别作y轴的平行线交双曲线于EF,已知﹣3x10x21,请探究当x1x2满足什么关系时,MNEF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知二次函数.

(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)求二次函数的解析式

(2)如图m=2该抛物线与y轴交于点C顶点为D求C、D两点的坐标

(3)(2)的条件下,x轴上是否存在一点P使得PC+PD最短若P点存在求出P点的坐标若P点不存在请说明理由

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,平面直角坐标系中,轴正半轴上一点,连接,在第一象限作 ,过点作直线轴于,直线与直线交于点,且,则直线解析式为____________

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,图2,图3,图4均为8×8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,图中均有线段AB.按要求画图.

1)在图1中,以格点为顶点,AB为腰画一个锐角等腰三角形;

2)在图2中,以格点为顶点,AB为底边画一个锐角等腰三角形.

3)在图3中,以格点为顶点,AB为腰画一个等腰直角三角形;

4)在图4中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,抛物线轴交于两点,与轴交于点,且

1)求抛物线的解析式;

2)求抛物线与轴另一个交点的坐标,并观察图象直接写出当为何值时

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,AD为等边△ABC的高,EF分别为线段ADAC上的动点,且AECF,当BF+CE取得最小值时,∠AFB=(  )

A. 112.5°B. 105°C. 90°D. 82.5°

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】 如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点F的坐标为(-15),求点E的坐标.

查看答案和解析>>

同步练习册答案