【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8),且抛物线的对称轴是直线x=﹣2.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)连接AC,BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A,B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式;
(3)在(2)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并判断S取得最大值时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+8;(2)﹣m2+4m,(3)△BCE为等腰三角形.理由见解析.
【解析】
(1) 先解一元二次方程, 得到线段0B、 OC的长, 也就得到了点B、 C两点坐标, 根据抛物线的对称性可得点A坐标,把A、 B、 C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式;
(2)易得=-,只需利用平行得到三角形相似, 求得EF长, 进而利用相等角的正弦值求得ΔBEF中BE边上的高;
(3) 利用二次函数求出最值, 进而求得点E坐标. OC垂直平分BE, 那么EC=BC, 所求的三角形是等腰三角形.
(1)∵点B的坐标为(2,0),抛物线的对称轴是直线x=﹣2,
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(﹣6,0),
∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上,
∴c=8,将A(﹣6,0)、B(2,0)代入表达式,得,
解得,
∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+8;
(2)依题意,AE=m,则BE=8﹣m,
∵OA=6,OC=8,
∴AC=10,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BAC,
∴= 即=,
∴EF=,
过点F作FG⊥AB,垂足为G,
则sin∠FEG=sin∠CAB=
∴=
∴FG==8﹣m,
∴S=S△BCE﹣S△BFE=(8﹣m)×8﹣(8﹣m)(8﹣m)=(8﹣m)(8﹣8+m)=(8﹣m)m=﹣m2+4m,
(3)由S=﹣m2+4m=﹣(m﹣4)2+8可知,S存在最大值,
当m=4时,S最大值=8,
∵m=4,
∴AE=4,
∵OA=6,
∴OE=2,
∴点E的坐标为(﹣2,0),
∵B(2,0),C(0,8),
∴△BCE为等腰三角形.
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【题目】如图1所示,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于, 两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)设点和是反比例函数图象上两点,若,求的值;
(3)若M(x1,y1)和N(x2,y2)两点在直线AB上,如图2所示,过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F,已知﹣3<x1<0,x2>1,请探究当x1、x2满足什么关系时,MN∥EF.
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【题目】已知二次函数.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由。
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【题目】如图,平面直角坐标系中,,为轴正半轴上一点,连接,在第一象限作, ,过点作直线轴于,直线与直线交于点,且,则直线解析式为____________.
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【题目】如图1,图2,图3,图4均为8×8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,图中均有线段AB.按要求画图.
(1)在图1中,以格点为顶点,AB为腰画一个锐角等腰三角形;
(2)在图2中,以格点为顶点,AB为底边画一个锐角等腰三角形.
(3)在图3中,以格点为顶点,AB为腰画一个等腰直角三角形;
(4)在图4中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形.
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【题目】如图,AD为等边△ABC的高,E、F分别为线段AD、AC上的动点,且AE=CF,当BF+CE取得最小值时,∠AFB=( )
A. 112.5°B. 105°C. 90°D. 82.5°
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